Քառակուսային եռանդամ

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝

x²+2x−5,4x²−3x+1,x²+3x,2x²−8,7x² բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝  x² -ու գործակից, b թիվը՝  x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քառակուսային եռանդամի ուսումնասիրման հարցերում խիստ կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac,որն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Քառակուսային եռանդամների ուսումնասիրման ամենակարևոր հարցերից են դրանց արտադրիչների վերլուծումը և ax²+bx+c=0 հավասարման լուծումը:

1) Եթե D>0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների: 

2) Եթե D=0, ապա քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների: 

3) Եթե D<0, ապա եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax²+bx+c=a⋅(x−x₁)(x−x₂),

որտեղ՝

x₁=(−b+√D)/2a

x₂=(−b-√D)/2a

Օրինակ`

1)Վերլուծենք արտադրիչների 2x²−3x+1 եռանդամը:  

Հաշվենք D=b²−4ac տարբերիչը՝ D=(−3)²−4⋅2⋅1=9−8=1>0

Ըստ բանաձևերի՝

x₁=(3+√1)/2⋅2=1

x₂=(3-√1)/2⋅2=1/2

Հետևաբար՝

2x²−3x+1=2(x−1)(x−1/2)

2) Դիտարկենք x²+6x+9 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=6²−4⋅1⋅9=36−36=0

Այն հավասար է զրոյի հետևաբար, եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար  արտադրիչների: Դա կարելի է անել, օրինակ այսպես՝

x²+6x+9=x²+2⋅x⋅3+3²=(x+3)²=(x+3)(x+3)

Կիրառեցինք քառակուսիների գումարի բանաձևը:

3) Դիտարկենք x²+2x+6 եռանդամը:

Հաշվենք եռանդամի տարբերիչը՝ D=2²−4⋅1⋅6=4−24=−20<0

Այն բացասական է, հետևաբար, եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների: 

Առաջադրանքներ․

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Իռացիոնալ անհավասարումներ

Եթե անհավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա  այդպիսի անհավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Սովորենք լուծել պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները: Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներն են՝ √x<a և √x>a, որտեղ a -ն տրված իրական թիվ է:

Դիտարկենք √x<a անհավասարումը:

1) Եթե a≤0, ապա թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանման համաձայն, անհավասարումը լուծում չունի:

2) Եթե a>0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Եկանք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ կրկնակի անհավասարումը՝ 0≤x<a²

Դիտարկենք √x>a անհավասարումը:

1) Եթե a<0, ապա ձախից ոչ բացասական թիվ է, իսկ աջից՝ բացասական: Անհավասարումը միշտ ճիշտ է, եթե արմատն իմաստ ունի:

Հետևաբար այս դեպքում անհավասարման պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Գալիս ենք հետևյալ համակարգին՝

Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը՝ x>a²

Նման ձևով վարվելով՝ կարելի է լուծել պարզագույն ոչ խիստ անհավասարումները:

√x≤a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, լուծում չկա: 

2) Եթե a≥0, ապա x∈[0;a²]

√x≥a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1) Եթե a<0, պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)

2) Եթե a≥0, ապա x∈[a²;+∞)

Օրինակ

Լուծենք √2x−1<3 իռացիոնալ անհավասարումը:

1) Սկզբում գտնենք ԹԱԲ -ը՝ 2x−1≥0

2) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√2x−1)²²

3) Եկանք հետևյալ համակարգին՝

4) Լուծենք ստացված համակարգը՝

5) Պատասխանը ստացված բազմությունների հատումն է՝ x∈[0.5;5)

Առաջադրանքներ․

1)Լուծեք հետևյալ անհավասարումները․

ա)լուծում չկա

բ)x<9

[0,9)

գ)[0,+∞)

դ)լուծում չկա

2)Լուծեք անհավասարումները․

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Լուծեք հետևյալ անհավասարումները․

2)Լուծեք անհավասարումները․

Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ։ Իռացիոնալ հավասարումներ

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

a) 1-1=x-3x
-2x=0
x=0

b)x-4x=1-5
-3x=-4

c)x=4/3
Լուծում չկա

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Մարտ ամսվա ֆլեշմոբի խնդիրներ․

Ընտրի՛ր քեզ հետաքրքրող տարբերակը, լուծի՛ր խնդիրները և պատասխանները լրացրո՛ւ համապատասխան տեղում: Վերջում չմոռանաս սեղմել ներքևի կապույտ կոճակը:

I մակարդակ
II մակարդակ
III մակարդակ
IV մակարդակ
Սովորողներն են առաջակում

Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ։

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ: 

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=3²: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ 2х+1=9 գծային և √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ՝

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ 

(√2x−5)²=(√4x−7)²

2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ x-ի  փոխարեն տեղադրենք 1, կստանանք՝  √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունեն:

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատները: 

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Օրինակ՝

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)²=2²

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4

5x=20

x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Առաջադրանքներ․

Լուծել հավասարումները․

a)3x-1=0
3x=1
x=1/3

b) 4x+5=4
4x=4-5
4x=-1
-1/4

g)7-3x=1
-3x=1-7
-4x=-6

d)
e)
z)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Լուծեք հավասարումները․

Հանրահաշիվ

Առաջադրանքներ․

1)Գումարեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները՝

ա)14>11 և 10>9 24>20

բ)-2>-3 և 3>2 1>-1

գ)-6<-5 և 2<3 -4<-2

դ)-8<0 և 8<9 0<9

2)Բազմապատկեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները՝

ա)14>10 և 2>1 28>10

բ)6<7 և 2<3 12<21

գ)5>3 և 6>5 30>15

դ)8<9 և 1<2 8<18

3)Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստացեք ճշմարիտ անհավասարություն, որում յուրաքանչյուր թիվ փոխարինված է իր հակադիրով։

Օրինակ, քանի որ 19>13, ապա -19<-13։

ա)3>0 -3<0

բ)5>-1 — 5<1

գ)-9<-1 9>1

դ)-5<-1 5>1

ե)9>-2 -9<2

զ)0<3 0>-3

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Բազմապատկեք ճշմարիտ անհավասարության երկու մասը միևնույն բացասական թվով։Ճի՞շտ է արդյոք ստացված անհավասարությունը։

ա)1<2

բ)5>4,5

գ)6,5<6,9

դ)1,1<1,2

ե)1,3>1,2

զ)5<6

2)Գրեք անհավասարություն, որն ստացվում է տրված անհավասարության ձախ և աջ մասերի թվերը փոխարինելով նրանց հակադարձներով։

Օրինակ, քանի որ 5<6, ապա 1/5>1/6

ա)Քանի որ 6>3, ապա ․ ․ ․

բ)Քանի որ 7<10, ապա ․ ․ ․

գ)Քանի որ 2<4, ապա ․ ․ ․

դ)Քանի որ 11<12, ապա ․ ․ ․

ե)Քանի որ 13>12, ապա ․ ․ ․

զ)Քանի որ 15<26, ապա ․ ․ ․

Թվաբանական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակների հետ

Առաջադրանքներ․

Ձևափոխեք հանրահաշվական կոտորակի․

181. ա)8/x-2x բ)24/4a + 3a գ)6/2m² -6m

դ) 30/3(a-1) + 2a ե)24/8x+12 + 3x-3 զ)30/3a-9 — 4-2a

182. ա)12x/3-4 բ)4m/4+5 գ)pq/2q+3

դ)xy/a-by ե)mn²/m² — n զ)6ab²/2a² + 24b

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Ձևափոխեք հանրահաշվական կոտորակի․

183. ա) abc/cm + bm բ)mnb/2ab — 5an

գ)mb/2ab-3b² + 4a — 5b² դ)xyz/xz-yz — yx-yz

184. ա)x³/2x-3 բ)m⁴/7-3am² գ)a⁵b⁷/b⁴+a⁴

դ)x⁴b⁵/4b² — 3x² ե)x⁷y⁵z⁵/3az⁵ — 3bx⁶y զ)a⁴b⁶c⁹/m⁷nb³ + 3mn²ac⁵

Հանրահաշվական կոտորակներ

Թվային արտահայտությունը կազմվում է թվերից, թվաբանական գործողությունների նշաններից և փակագծերից:

Թվային արտահայտության գործողությունների արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է թվային արտահայտության արժեք:

Եթե արտահայտության մեջ պատահում է բաժանում զրոյի վրա, ապա այդ արտահայտությունն արժեք (իմաստ) չունի: Զրոյի վրա բաժանել չի կարելի:  

(−3)²+5⋅0,2 թվային արտահայտության արժեքը հավասար է 10-ի:

(7−(−2)⁵+(6⋅4))0 արտահայտությունն արժեք չունի:

Եթե թվային արտահայտությունը պարունակում է նաև տառեր (կամ միայն տառեր), ապա այն կոչվում է հանրահաշվական արտահայտություն:

(−3)²+5x;3a+4b;(2x−6)/3 արտահայտությունները հանրահաշվական են:

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է A/B տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:

Հանրահաշվական կոտորակը բազմանդամի և ոչ զրոյական բազմանդամի քանորդ է:

x/(x−3);(b−1)/(b+6);(1+x³)/(x²+1);(y+2)/(y²−6y+6)արտահայտությունները հանրահաշվական կոտորակներ են:

Իմանալով իրական թվերի բազմապատկման կանոնը՝ սահմանենք իրական թվի ամբողջ ցուցիչով աստիճանը:

Եթե n-ը բնական թիվ է և a≠0, ապա՝

1. aⁿ=a⋅a⋅⋅⋅a n  անգամ

2. a⁻ⁿ=1/aⁿ

Օրինակ

4⁻³=1/4³=1/64

7⁻²=1/7²=1/49

Օգտվելով իրական թվերի բազմապատկման օրենքներից՝ դժվար չէ համոզվել, որ այս ձևով սահմանված ամբողջ ցուցիչով աստիճանն ունի հետևյալ հատկությունները՝ 

1.a^m⋅aⁿ=a^m+n

2.a^m/aⁿ=a^m−n

3.aⁿ⋅bⁿ=(a⋅b)ⁿ

4.aⁿ/bⁿ=(a/b)ⁿ

5.(aⁿ)^m=a^n⋅m

Առաջադրանքներ․

118,119,121

Դասագիրք․

Տնային աշխատանք․

116,120

Հանրահաշիվ

1)52սմ պարագծով ուղղանկյան երկու կողմերի տարբերությունը 4սմ է։ Գտեք ուղղանկյան կողմերը։

x-y=4

2y+2y+52
x=y

x=y+4
2(y+4)+2y=52
2y+8+2y=52

4y=44
y=11

x=15

2)Դպրոցը ձեռք բերեց 4 բազկաթոռ և 2 սեղան,դրանց համար վճարելով 36000 ռուբլի։Եթե գնվեր 2 բազկաթոռ և 3 սեղան,ամբողջ գնումը 14000 ռուբլով պակաս կլիներ։Առանձին-առանձին որքա՞ն արժեն բազկաթոռը և սեղանը:

4x+2y=36000

3600-1400=22000

2y+3x=22000

4x+6y=44000

6y=8000

y=2000

3)Երեք բադ և չորս սագ միասին կշռում են 2կգ 500գ, իսկ չորս բադ և երեք սագ միասին կշռում են 2կգ 400գ։ Որքա՞ն է կշռում 1 սագը։

Տնային աշխատանք․

1)Երկու բնական թվերի գումարը 31 է, իսկ տարբերությունը՝ 5։ Գտեք այդ թվերը։

2)Եռանկյան մեծ կողմը 16սմ է, իսկ մյուս երկու կողմերի տարբերությունը՝ 4սմ։ Ինչի՞ են հավասար եռանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 38սմ է։

Երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգեր

Դիցուք տրված են x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարումներ՝ a₁x+b₁y+c₁=0 և a₂x+b₂y+c₂=0: Ասում են, որ տրված է  x և y երկու անհայտներով հավասարումների համակարգ։

Համակարգի հավասարումները գրում են իրար տակ և միացնում են հատուկ նշանի՝ ձևավոր փակագծերի միջոցով.

(x;y) թվազույգը, որը հանդիսանում է միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծում, կոչվում է համակարգի լուծում:

Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ այլ լուծումներ չկան:

Առաջադրանքներ․

23,25,27

Դասագիրք․

Տնային աշխատանք․

24,28

Երկու անհայտներով գծային հավասարում

ax+by+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a−ն,b−ն,c−ն թվեր են (գործակիցներ), կոչվում է x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարում: a և b թվերը կոչվում են անհայտների գործակիցներ, իսկ c-ն՝ ազատ անդամ: 

 ax+by+c=0 հավասարման լուծում անվանում են ցանկացած (x;y) թվազույգ, որը բավարարում է ax+by+c=0 հավասարմանը, այսինքն՝ հավասարման մեջ տեղադրելիս այն վերածում է ճիշտ թվային հավասարության:

Օրինակ՝

 x+y−3=0 երկու անհայտով գծային հավասարման լուծումներ կարող են լինել (3;0),(2;1),(1;2),(0;3),(4;−1) թվազույգերը։

Առաջադրանքներ․

Դասագիրք․

5, 7, 8

a)ax+by+c =0

5x+4y-2 =0

2y-1+=0

-3y+4=0

-5x-1y+0=0

Տնային աշխատանք․

4, 9